Diffusion des ondes guidées se propageant à travers les coudes de conduite en fonction de l'expansion en mode normal

Rapports scientifiques volume 12, Numéro d'article : 12488 (2022) Citer cet article

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La diffusion des ondes guidées se propageant à travers les coudes des conduites est étudiée au moyen de l'expansion en mode normal. Tout d'abord, la relation de bi-orthogonalité pour les modes normaux dans les coudes de tuyau est dérivée, sur la base de laquelle les champs de déplacement et de contrainte aux interfaces entre les parties droites et courbes sont étendus avec les modes normaux dans les deux parties. Ensuite, sur la base du principe de déplacement et de continuité du champ de contraintes, le problème de diffusion est considéré comme un problème propre d'une matrice de transfert dont la solution donne les conversions de modes aux interfaces. Une étude de cas est présentée sur le mode longitudinal à basse fréquence incident sur un coude de tuyau, et il est constaté que les conversions de mode dominantes sont la réflexion L(0,1) et la conversion de mode de L(0,1) à F(1, 1). Des simulations par éléments finis et des expériences sont également menées. La réflexion de courbure L(0,1) et la conversion de mode F(1,1) sont clairement observées, ce qui concorde bien avec les prédictions théoriques.

Parce qu'elle est très efficace et peut détecter des zones qui seraient autrement inaccessibles, la technologie des ondes guidées1,2,3 est largement utilisée pour l'inspection des pipelines. Cependant, les pipelines pratiques ont toujours de multiples coudes qui interfèrent avec la propagation de l'onde guidée incidente et compliquent ainsi considérablement les signaux de test et les rendent même impossibles à interpréter. Par conséquent, la mécanique de diffusion des ondes guidées se propageant à travers les coudes des tuyaux est essentielle lors de l'inspection de pipelines complexes.

En raison de l'axe incurvé d'un coude de tuyau, le mouvement des vagues y est beaucoup plus complexe et doit être étudié numériquement plutôt qu'analytiquement. Demma et al.4 ont d'abord dérivé les courbes de dispersion et les structures de mode des ondes guidées dans les coudes de conduite avec la méthode d'analyse de mode5 dans un logiciel commercial d'éléments finis, mais la relation de dispersion ne peut être calculée qu'à des fréquences discrètes. Hayashi et al.6 ont d'abord calculé les courbes de dispersion des ondes guidées dans les coudes de conduite en utilisant la méthode semi-analytique des éléments finis (SAFE)6,7,8,9,10, qui ne nécessite que la section transversale de la conduite à discrétiser, transformant ainsi un problème tridimensionnel (3D) en un problème bidimensionnel (2D) et économisant ainsi du temps de calcul et de la mémoire. Un système de coordonnées cylindrique incurvé est introduit pour la région de tuyau incurvé, sous lequel l'équation déterminante du mouvement des vagues dans les coudes de tuyau est dérivée puis résolue avec la méthode SAFE. Cette méthode est également appliquée aux calculs de dispersion des structures hélicoïdales8 et des structures à sections constantes, comme les rails9 et les tubes carrés10.

Par rapport aux courbes de dispersion des ondes guidées dans les conduites droites, celles des conduites coudées présentent plusieurs caractéristiques distinctes, telles que les fréquences de coupure pour les modes fondamentaux [L(0,1) et T(0,1)], le dédoublement des modes11, mode répulsion9 et mise au point naturelle12. Demma et al.11 ont étudié la fonction de séparation des modes et ont expliqué que les modes identiques à l'origine dans les conduites droites se divisaient en deux modes différents en raison de la perte de symétrie axisymétrique dans les coudes de conduite. La répulsion de mode a également été observée dans les courbes de dispersion des plaques courbes13,14, des guides d'ondes hélicoïdaux8 et des rails9, entre autres. Loveday et al.9 ont étudié la répulsion modale des ondes guidées dans les rails, après quoi Wu et al.15 ont étudié la même chose dans les coudes de conduite. On trouve que la répulsion de mode se produit lorsque la dérivée seconde de la fréquence par rapport au nombre d'onde s'approche de l'infini lorsque les deux courbes se rapprochent l'une de l'autre. On constate également que la répulsion de mode ne se produit qu'entre modes du même type (par exemple, modes symétriques ou antisymétriques) et non entre modes de types différents (par exemple, modes symétriques et antisymétriques).

Bien que les caractéristiques de propagation des ondes guidées dans les coudes de conduite soient bien connues, la mécanique de diffusion correspondante reste moins comprise. La plupart des études de la mécanique de diffusion sont basées sur des simulations numériques16,17,18,19,20 et des expériences21,22,23,24,25. Au moyen d'une simulation par éléments finis 3D, Aristegui et al.16 ont simulé le mode L(0,2) traversant les coudes de conduite et ont observé des conversions de mode de L(0,2) à F(1,3) et F(2, 3). Demma et al.11 ont étudié la diffusion du mode de torsion T(0,1) et ont constaté qu'il est plus susceptible d'être converti en F(1,2). Sur la base de la définition des représentations paramétriques orthogonales préservant le temps de déplacement des tubes courbes, Brath et al.12 modélisent la propagation et la diffusion des ondes guidées dans un virage avec une approche bidimensionnelle. Qi et al.17 et Heinlein et al.18 ont étudié la réflexion du mode T(0,1) à partir de défauts circonférentiels et axiaux dans les coudes de tuyaux, respectivement. En plus de la méthode des éléments finis, d'autres méthodes numériques sont également utilisées : Rudd et al.19 ont utilisé l'intégration finie élastodynamique pour simuler les ondes guidées dans les coudes, et Zhou et al.20 ont utilisé la méthode des éléments finis des ondes pour étudier la diffusion. mécanique des coudes.

En ce qui concerne les études expérimentales, Nishino21 a utilisé un système laser pour générer et détecter des ondes guidées dans un tuyau en acier inoxydable, et des conversions de mode dans les coudes de tuyau ont été observées. Utilisant également un système laser, Kim et al.22 ont évalué les défauts d'amincissement des parois dans les coudes de tuyaux. Verma et al.23 ont généré le mode L(0,2) avec des transducteurs magnétostrictifs et ont étudié comment l'angle et les rayons de courbure affectaient les coefficients de réflexion et de transmission. De même, Wu et al.24,25 ont utilisé un système magnétostrictif pour étudier la diffusion des modes L(0,1) et T(0,1) traversant les coudes des tuyaux. Brath et al.26 ont cartographié expérimentalement les coudes des tuyaux avec une méthode de tomographie à ondes guidées basée sur un modèle rapide.

Basée sur une relation bi-orthogonale, la méthode d'expansion en mode normal (NME) exprime le mouvement d'onde dans un guide d'onde avec des modes d'onde guidés orthogonaux, facilitant ainsi l'analyse de la réponse de force. Ditri et al.27 ont d'abord dérivé la relation bi-orthogonale dans les cylindres creux sur la base du théorème de réciprocité28, suivie d'une analyse d'excitation de mode généralisée des tuyaux avec une traction de surface appliquée. Plus précisément, Ditri et al.29 ont analysé l'excitation de mode des transducteurs de type coin et peigne. En utilisant la même méthode NME, Zhang et al.30 ont analysé la réponse en force de cylindres creux élastiques par rapport au chargement magnétostrictif. Ma et al.31 ont étudié l'excitation d'ondes guidées en torsion dans des conduites par un chargement de cisaillement inversé. Bakkali et al.32 ont étudié la diffusion à la jonction entre les tuyaux droits et courbes en se basant sur la relation bi-orthogonale qui est simplement prolongée de la relation bi-orthogonale dans les plaques. Récemment, Zhang et al.33 ont utilisé la méthode NME pour étudier les problèmes d'ondes guidées forcées dans les zones de chargement et ont constaté que la solution NME classique ne satisfait pas la loi de Hooke à l'intérieur de la zone de chargement. Pour remédier à cette lacune, Zhang et al.34 ont proposé une méthode NME modifiée.

Ici, la méthode NME est utilisée pour étudier la mécanique de diffusion des ondes guidées dans les coudes. Dans la section "Modélisation SAFE du mouvement des vagues dans les coudes", la modélisation SAFE du mouvement des vagues dans les coudes est brièvement présentée, puis la relation bi-orthogonale des modes normaux dans les coudes est dérivée dans "Relation de bi-orthogonalité pour les modes normaux dans section des coudes de tuyau". Sur la base de cette relation, une étude théorique de la mécanique de diffusion est présentée dans la section "Étude théorique de la diffusion par ondes guidées au niveau des coudes de conduite". Pour illustrer davantage l'étude de diffusion théorique, une étude de cas d'un incident en mode longitudinal à basse fréquence sur un coude de tuyau à petit rayon est présentée dans la section "Étude de cas". Enfin, dans les sections « Simulations numériques » et « Validation expérimentale », des simulations numériques et des expériences, respectivement, sont rapportées pour valider les prédictions théoriques.

Comme le montre la figure 1, un système de coordonnées quasi-cylindriques6 est introduit pour modéliser le cylindre creux incurvé, où l'axe z droit en coordonnées cylindriques est remplacé par un axe z 'incurvé le long de la courbure du coude. Ainsi, un point arbitraire (x, y, z) en coordonnées cartésiennes peut être exprimé en coordonnées quasi-cylindriques (r, θ, z ') comme

où R est le rayon de courbure.

Système de coordonnées quasi-cylindrique6.

En coordonnées quasi-cylindriques, les relations contrainte–déplacement sont réécrites comme6

où \({\mathbf{u}} = \left[ {u_{r} ,u_{\theta } ,u_{z^{\prime}} } \right]^{T}\) est le vecteur de déplacement, \({{\varvec{\upsigma}}} = \left[ {\sigma_{rr} ,\sigma_{\theta \theta } ,\sigma_{\theta z^{\prime}} ,\sigma_{\theta z^{\prime}} ,\sigma_{z^{\prime}r} ,\sigma_{r\theta } } \right]^{T}\) est le vecteur de contrainte,

\({\mathbf{D}}\) est l'équation constitutive, qui est définie comme

où λ est le coefficient de Poisson et µ est le module d'élasticité en cisaillement.

Les ondes guidées sont supposées se propager le long de l'axe courbe, d'où le déplacement u dans un coude de tuyau prend la forme

où k est le nombre d'onde, \(\omega\) est la fréquence angulaire et \({\mathbf{U}}\left( {r,\theta } \right)\) est le déplacement interpolé dans la section transversale de le guide d'onde. Étant donné que le mouvement des ondes dans la direction z 'est supposé être harmonique, la discrétisation par éléments finis n'est requise que sur la section transversale du coude du tuyau, le mouvement des ondes harmoniques dans la direction z ' étant inclus analytiquement. Étant donné que seule la section transversale est discrétisée et non un volume, transformant ainsi un problème 3D en un problème 2D, cette méthode diminue considérablement le nombre de nœuds et économise ainsi du temps de calcul et de la mémoire.

Avec la relation déformation–déplacement réécrite [Eq. (2)] et en suivant la procédure standard de la méthode des éléments finis, l'équation déterminante du mouvement des vagues dans les coudes de tuyau peut être écrite comme4

où U est le déplacement nodal, K1, K2 et K3 sont les matrices de rigidité et M est la matrice de masse. Les matrices de rigidité et de masse sont toutes réelles et symétriques, sauf que K2 est antisymétrique. Soit \({\mathbf{K}}_{{2}}^{^{\prime}} = i{\mathbf{K}}_{{2}}^{{}}\), alors \( {\mathbf{K}}_{{2}}^{^{\prime}}\) est symétrique conjugué. Ainsi, toutes les matrices de l'Eq. (5) peut être considéré comme symétrique conjugué. L'équation gouvernante de l'Eq. (5) peut être considéré comme un problème aux valeurs propres et peut être réécrit comme

où \(\lambda = \omega^{2}\) est la valeur propre et \({{\varvec{\uppsi}}}\) est le vecteur propre, qui représente également la structure du mode. Ensuite, les courbes de dispersion nombre d'onde-fréquence et la structure de mode correspondante peuvent être calculées en résolvant ce problème de valeur propre.

La méthode NME est basée sur une relation bi-orthogonale et exprime le mouvement des ondes avec des modes d'ondes guidés orthogonaux. La relation de bi-orthogonalité pour les modes normaux dans les coudes de conduite est dérivée dans cette section en suivant les travaux de la Réf.27, dans laquelle la relation de bi-orthogonalité pour une conduite droite est déduite.

La relation de bi-orthogonalité pour les modes normaux est dérivée de la relation de réciprocité complexe27, qui stipule que

où V1, \({{\varvec{\upsigma}}}_{1}\) et V2, \({{\varvec{\upsigma}}}_{2}\) sont les champs de vitesse et de contrainte des particules, respectivement, de deux mouvements d'ondes différents dans un guide d'ondes linéairement élastique, et l'astérisque représente une conjugaison complexe.

Soit \({\mathbf{V}}_{1}\), \({{\varvec{\upsigma}}}_{1}\) et \({\mathbf{V}}_{2}\ ), \({{\varvec{\upsigma}}}_{2}\) être différents modes dans un coude de tuyau. En coordonnées quasi-cylindriques, ils prennent les formes de

où k est le nombre d'onde modal, et V et T sont respectivement la vitesse des particules et les champs de contrainte sur la section transversale du coude du tuyau. Notez qu'ici et ci-après, la dépendance temporelle harmonique \(e^{ - iwt}\) est omise par souci de brièveté.

Combiner les éq. (7) et (8) donnent

Intégrer l'éq. (9) sur une tranche dans le coude de tuyau (le volume ΔV sur la Fig. 1) donne

En utilisant le théorème de divergence de Gauss, l'intégrale de volume dans le volume ΔV devient l'intégrale de surface sur sa surface, c'est-à-dire

où \(\partial S_{1}\) et \(\partial S_{2}\) sont respectivement les surfaces externe et interne du volume ΔV, \(\partial S_{{z^{\prime}_ {1} }}\) et \(\partial S_{{z^{\prime}_{1} + \Delta z^{\prime}}}\) sont les sections transversales du coude de tuyau au point z′ positions de \(z^{\prime}_{1}\) et \(z^{\prime}_{1} + \Delta z^{\prime}\), respectivement, \(\hat{e} _{z^{\prime}}\) est le vecteur unitaire dans la direction z′, et \(\hat{n}\) est le vecteur normal unitaire pointant à l'opposé du volume intérieur.

Pour un coude de tuyau libre, ses surfaces intérieure et extérieure ne subissent aucune traction, donc le premier terme du côté droit de l'équation. (11) disparaît. De plus, parce que le terme \({\mathbf{V}}_{2}^{*} \cdot {\mathbf{T}}_{1} + {\mathbf{V}}_{1} \cdot { \mathbf{T}}_{2}^{*}\) est indépendant de z′, ses intégrales d'aire dans \(\partial S_{{z^{\prime}_{1} }}\) et \( \partial S_{{z^{\prime}_{1} + \Delta z^{\prime}}}\) sont les mêmes. Par conséquent, l'éq. (11) peut s'écrire

Soit \(\Delta z^{\prime} \to 0\), Eq. (12) tient toujours et devient

où

L'équation (14) indique que

L'équation (15) est la relation de bi-orthogonalité pour les modes normaux dans les coudes de tuyau.

Dans cette sous-section, la relation de bi-orthogonalité de l'Eq. (15) est validé numériquement en étudiant un tuyau en acier inoxydable avec un diamètre extérieur de 22 mm, une épaisseur de 2 mm et un rayon de courbure de 50 mm. Les propriétés matérielles du tuyau en acier inoxydable sont données dans le tableau 1.

Le mouvement des vagues dans le coude de tuyau est dérivé à l'aide de la méthode SAFE présentée dans la section "Modélisation SAFE du mouvement des vagues dans les coudes de tuyau". La méthode SAFE est implémentée avec des codes Matlab. La section transversale du coude de conduite est d'abord discrétisée avec deux éléments dans la direction radiale et 48 éléments dans la direction circonférentielle. En résolvant le problème aux valeurs propres [Eq. (6)], la relation de dispersion pour le coude de tuyau est dérivée. Les courbes de dispersion de vitesse de groupe pour le coude de tuyau sont illustrées à la Fig. 2a, et celles pour le tuyau droit sont illustrées à la Fig. 2b. À titre de comparaison, les modes dans le coude du tuyau sont désignés comme ceux du tuyau droit mais avec l'ajout de l'indice C, comme illustré à la Fig. 2a. Comme le montre clairement la Fig. 2a, les caractéristiques distinctes des courbes de dispersion pour le coude de tuyau sont (i) les fréquences de coupure évidentes pour les modes TC(0,1) et LC(0,1), (ii) les les phénomènes de séparation de mode marqués par les cadres, et (iii) les phénomènes de répulsion de mode marqués par les cercles. Notez que la figure 2a ne montre que les modes de propagation positifs, mais tous les modes, y compris ceux qui se propagent négativement et ceux qui ne se propagent pas, sont étudiés dans la validation de la relation de bi-orthogonalité.

Courbes de dispersion de vitesse de groupe pour (a) un coude de tuyau et (b) un tuyau droit.

La fréquence d'excitation de 30 kHz est choisie pour étudier la relation de bi-orthogonalité. Aussi, en résolvant l'Eq. (6), la structure de mode (vecteur propre \({{\varvec{\uppsi}}}\)) est déduite. La figure 3 montre la distribution de déplacement le long de la direction circonférentielle pour (a) \({\text{L}}_{{\text{C}}} {(0,1)}\), (b) \({ \text{T}}_{{\text{C}}} {(0,1)}\), (c) \({\text{F}}_{{\text{C}}} {( 1,1)}_{1}\), (d) \({\text{F}}_{{\text{C}}} {(1,1)}_{2}\), (e ) \({\text{F}}_{{\text{C}}} {(2,1)}_{1}\), et (f) \({\text{F}}_{{ \text{C}}} {(2,1)}_{2}\) modes.

Distributions de déplacement le long de la direction circonférentielle (les lignes bleues pleines, pointillées rouges et pointillées noires montrent les déplacements dans les directions radiale, circonférentielle et axiale, respectivement).

Le terme \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\) [Eq. (14)] dans la relation de bi-orthogonalité est une intégrale sur la section efficace, qui peut être calculée en suivant la procédure de calcul SAFE. Pour chaque élément de la section transversale, nous avons

où l'exposant e désigne l'élément et \({{\varvec{\uppsi}}}_{{}}^{e}\) est le vecteur de déplacement des nœuds de cet élément. L'intégrale dans l'éq. (16) peut être calculée numériquement comme une intégrale gaussienne. Ensuite, en additionnant les intégrales de tous les éléments, \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\) est obtenu.

Les valeurs \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\) pour les modes normaux dans le coude de tuyau sont calculées avec les structures de mode normalisées \({\overline{\mathbf {\psi }}}_{k}\), qui est défini comme suit :

\({\mathbf{P}}_{k,k}\) est en fait le double du vecteur de Poynting, qui est défini comme \({\mathbf{P}}{ = }\iint_{s} {{\text {Réel}}\left( {{\mathbf{V}}_{{}}^{*} \cdot {\mathbf{T}}} \right)} \cdot \hat{e}_{z^{ \prime}} ds\) et dénote la puissance moyenne sur la section efficace. Ainsi, cette normalisation est un processus de normalisation classique effectué par rapport à la racine carrée du vecteur de Poynting. Les valeurs de \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\) pour les différents modes sont nulles, validant ainsi la relation de bi-orthogonalité.

Avec la relation de bi-orthogonalité pour les coudes de tuyau dérivée dans la dernière section, le mode incident et tous les modes réfléchis possibles peuvent être étendus avec les modes normaux dans les coudes de tuyau aux interfaces. Inversement, les modes transmis peuvent être étendus avec les modes normaux dans les conduites droites. En tenant compte du principe de déplacement et de continuité des contraintes, une matrice de transfert entre coefficients de diffusion peut être établie. Puis, en résolvant la matrice de transfert, les conversions de mode aux interfaces sont déduites.

Supposons qu'une onde guidée excitée dans la partie droite d'un tuyau se propage à travers un coude de tuyau, comme illustré à la Fig. 4. Pour un coude de tuyau, il existe deux interfaces sur le chemin de propagation, comme indiqué par \(z^{\prime }_{1}\) et \(z^{\prime}_{2}\) sur la Fig. 4. Des conversions de mode compliquées se produisent à ces interfaces, dispersant différents modes de l'onde guidée et provoquant une confusion importante avec les signaux de test .

Schéma d'une onde guidée traversant un virage.

Pour chaque interface, les champs de déplacement et de contrainte sur la section transversale doivent être cohérents, c'est-à-dire

où l'indice i désigne la ième section du tuyau illustré à la Fig. 4. Selon la méthode NME, les structures de mode aux interfaces peuvent également être étendues avec des modes normaux dans l'une ou l'autre partie, c'est-à-dire,

où s et c désignent respectivement le tuyau droit et le tuyau courbe, a et b sont les coefficients de dilatation des modes normaux, et \({\overline{\mathbf{T}}}\) est la structure de mode de contrainte normalisée, qui dans la modélisation SAFE est défini comme

Parce que la relation déplacement-contrainte [Eq. (2) ou (21)] est non linéaire, les coefficients de dilatation des structures de mode de déplacement (an) sont différents de ceux des structures de mode de contrainte (bn). Cependant, bn peut être calculé selon la relation déplacement-contrainte.

Sur la base des relations de bi-orthogonalité des tuyaux droits27 et des coudes, les coefficients de dilatation sont calculés comme suit :

Notez que parce que les modes normaux sont essentiellement les solutions de l'équation directrice des mouvements d'onde dans les guides d'ondes, les modes normaux ne peuvent pas satisfaire simultanément deux équations gouvernantes différentes pour différents guides d'ondes. Supposons que le champ de déplacement de l'interface est exprimé simultanément par des modes normaux dans des tuyaux droits et des coudes. Ensuite, le champ de contraintes de l'interface peut être exprimé par des modes normaux soit dans des tuyaux droits, soit dans des coudes. Étant donné que le champ de contraintes est calculé selon différentes lois de Hook (différents opérateurs L dans l'équation (2)), la continuité du champ de contraintes ne peut pas être assurée. C'est-à-dire que le principe de continuité du champ de déplacement et de contrainte ne tient pas dans le cadre NME. Cependant, la méthode NME révèle toujours les connexions inhérentes entre les modes dans les tuyaux droits et les coudes de tuyau, et elle donne des informations précieuses sur les conversions de mode au niveau des coudes de tuyau. Par conséquent, le principe de continuité du champ de déplacement et de contrainte est supposé être vérifié dans la dérivation suivante.

À l'interface \(z^{\prime}_{1}\), chaque mode dans la section droite 1 peut également être étendu avec des modes normaux dans la section courbe 2, c'est-à-dire,

Ensuite, en combinant les Eqs. (19) et (24) et compte tenu du principe de continuité de l'Eq. (18), on obtient

L'équation (26) donne la relation entre les coefficients de dilatation comme

qui peut être exprimé sous forme matricielle comme

où \({\mathbf{A}}_{m} = \left( {a_{c,1}^{t} ,a_{c,2}^{t} , \cdots } \right)\), \({\mathbf{A}}_{l} = \left( {a_{s,1}^{i} ,a_{s,2}^{i} , \cdots ,a_{s,1}^ {r} ,a_{s,2}^{r} , \cdots } \right)\), et \({\mathbf{G}}_{lm}\) est la matrice de transfert définie comme

Tous les modes, y compris les modes de propagation positifs incidents, les modes de propagation positifs de transmission, les modes de propagation négatifs réfléchissants et les modes de non-propagation, doivent être pris en compte dans le calcul. Par conséquent, les exposants i, r et t sont introduits pour désigner respectivement les modes incident, de réflexion et de transmission.

Inversement, en développant chaque mode dans la section de tuyau 2 avec des modes normaux dans la section de tuyau 1 et en suivant la même procédure de dérivation, nous avons

Combiner les éq. (29) et (30) donnent

ce qui implique que \({\mathbf{A}}_{l}\) est le vecteur propre de \({\mathbf{G}}_{lm}{\mathbf{G}}_{lm}^{\prime }\) par rapport à la valeur propre de un. Ainsi, en résolvant le problème propre de \({\mathbf{G}}_{lm}{\mathbf{G}}_{lm}^{\prime}\), les coefficients de dilatation \({\mathbf{A} }_{l}\) des ondes guidées dans la section de tuyau 1 peut être dérivé, et \({\mathbf{A}}_{m}\) peut être calculé selon l'équation. (28).

Dans les inspections pratiques, un seul mode est généralement excité dans la section 1 du tuyau. Ensuite, en définissant \(a_{s,1}^{i}\) dans \({\mathbf{A}}_{l}\) sur être un et en calculant \({\mathbf{A}}_{l}\) et \({\mathbf{A}}_{m}\), les coefficients de réflexion et de transmission des ondes guidées se propageant à travers la première interface sont dérivé.

Considéré que le champ acoustique dans la section droite ou courbe est linéaire, l'incidence multimode peut être traitée comme plusieurs incidences monomodes, ce qui peut être fait en calculant la diffusion de chaque incidence monomode séparément, puis en superposant linéairement ces champs acoustiques de diffusion. .

Étant donné que plusieurs modes sont dispersés au niveau de la première interface, l'incidence multimode doit être prise en compte pour la seconde interface. Comme mentionné précédemment, l'incidence multimode est considérée comme plusieurs incidences monomodes. Pour chaque mode incident j, on a

où \({\mathbf{A}}_{n,j} = \left( {a_{s,1}^{t,j} ,a_{s,2}^{t,j} , \cdots } \right)\) sont les coefficients de dilatation des modes normaux dans la section droite 3, et \({\mathbf{A}}_{m,j} = \left( {a_{c}^{i,j} ,a_ {c,1}^{r,j} ,a_{c,2}^{r,j} , \cdots } \right)\) sont ceux de la section courbe 2. Aussi, en résolvant le problème propre de \({ \mathbf{G}}_{mn,j} {\mathbf{G}}_{mn,j} ^{\prime}\), les coefficients de transmission \({\mathbf{A}}_{n,j }\) et coefficients de réflexion \(\left( {a_{c,1}^{r,j} ,a_{c,2}^{r,j} , \cdots } \right)\) du jème incident mode scattering à l'interface \(z^{\prime}_{2}\) sont déduits.

En superposant tous les champs acoustiques diffusants, on obtient la diffusion à l'interface \(z^{\prime}_{2}\). Les coefficients de réflexion et de transmission sont

Les modes réfléchis à l'interface \(z^{\prime}_{2}\) arrivent alors négativement sur l'interface \(z^{\prime}_{1}\), renforçant ainsi les réflexions de cette dernière. Parce que les réflexions entre les interfaces \(z^{\prime}_{1}\) et \(z^{\prime}_{2}\) sont plutôt petites dans la plupart des cas, elles sont négligées pour la simplification.

La combinaison des champs de diffusion des interfaces \(z^{\prime}_{1}\) et \(z^{\prime}_{2}\) donne les coefficients de réflexion et de transmission (\({\mathbf{A }}_{l}\) et \({\mathbf{A}}_{n}\)) d'ondes guidées traversant le coude du tuyau.

Dans cette section, nous considérons l'exemple du mode L(0,1) longitudinal basse fréquence axisymétrique dans une conduite de petit diamètre avec un coude. Le tube d'essai est le même que celui utilisé dans la section "Validation numérique pour la relation de bi-orthogonalité". Supposons que le mode L(0,1) avec une fréquence d'excitation de 30 kHz est excité dans la partie droite puis traverse le coude du tuyau. Les structures de mode à la fois dans le tuyau droit et dans le coude du tuyau sont calculées à l'aide de la méthode SAFE présentée dans la section "Validation numérique pour la relation de bi-orthogonalité".

La diffusion à l'interface \(z^{\prime}_{1}\) est d'abord étudiée. Le mode incident L(0,1) et tous les modes réfléchissants possibles sont étendus avec les modes normalisés dans le coude de tuyau selon les relations de bi-orthogonalité [Eq. (14)], puis la matrice de transfert \({\mathbf{G}}_{lm}\) est constituée. Théoriquement, les modes de réflexion et de transmission non propagés devraient être inclus dans le calcul de \({\mathbf{G}}_{lm}\). Cependant, comme seuls les modes de propagation sont concernés dans le scénario de test pratique, nous simplifions le calcul de \({\mathbf{G}}_{lm}\) en ignorant les modes de non-propagation. Les modes d'entrée sont incident L(0,1) et réfléchissant L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 et F(1 ,1)2 modes. Les modes de transmission de sortie sont les modes LC(0,1), FC(2,1)1, FC(2,1)2, FC(1,1)1 et FC(1,1)2. F(1,1)1 et F(1,1)2 sont les mêmes modes car ils ont le même nombre d'onde. La différence entre eux réside dans leurs orientations circonférentielles des champs de déplacement, comme le montre la figure 5 ; il en est de même pour F(2,1)1 et F(2,1)2.

Distributions de déplacement de (a) F(1,1)1 et (b) F(1,1)2 le long de la direction circonférentielle (les lignes bleues pleines, pointillées rouges et pointillées noires montrent les déplacements dans la direction radiale, circonférentielle, et axiale, respectivement).

La résolution du problème propre de \({\mathbf{G}}_{lm} {\mathbf{G}}_{lm} ^{\prime}\) donne les coefficients de réflexion et de transmission :

\({\mathbf{A}}_{l}\) est un vecteur propre de \({\mathbf{G}}_{lm}{\mathbf{G}}_{lm}^{\prime}\) correspondant à la valeur propre de 0,2892 − 0,9633i, qui devrait en être une en théorie.

Prendre les valeurs absolues de \({\mathbf{A}}_{l}\) et \({\mathbf{A}}_{m}\) donne

À partir des coefficients de réflexion et de transmission de l'interface \(z^{\prime}_{1}\), nous concluons ce qui suit : (i) ~ 10 % du mode incident L(0,1) est réfléchi, tandis que les autres les reflets sont plutôt petits ; (ii) la majeure partie du mode incident L(0,1) est convertie en mode LC(0,1), une partie est convertie en mode FC(1,1)2 et toutes les autres conversions de mode sont négligeables.

Pour l'interface \(z^{\prime}_{2}\), il existe trois modes incidents. Pour simplifier, les modes avec de petites amplitudes sont ignorés, et donc seuls les modes dominants LC(0,1) et FC(1,1)2 sont considérés ici. Le développement des modes LC(0,1) et FC(1,1)2 avec les modes normalisés en section droite 3 donne les matrices de transfert \({\mathbf{G}}_{mn,1}\) et \({ \mathbf{G}}_{mn,2}\). Les modes d'entrée pour LC(0,1) sont l'incident LC(0,1) et le reflet LC(0,1), FC(2,1)1, FC(2,1)2, FC(1,1) 1 et FC(1,1)2. Les modes d'entrée pour FC(1,1)2 sont FC(1,1)2 incident et LC(0,1), FC(2,1)1, FC(2,1)2, FC(1, 1)1 et FC(1,1)2. Les modes de sortie pour les deux cas sont les modes L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 et F(1,1)2.

Résoudre les problèmes propres de \({\mathbf{G}}_{mn,1}{\mathbf{G}}_{mn,1}^{\prime}\) et \({\mathbf{G}}_ {mn,2} {\mathbf{G}}_{mn,2}^{\prime}\) donne les coefficients de réflexion et de transmission pour les incidences LC(0,1) et FC(1,1)2 :

qui correspondent aux valeurs propres de 0,2847 − 0,9351i et 0,0519 + 0,9121i.

La combinaison de ces champs de diffusion et des coefficients de transmission de l'interface \(z^{\prime}_{1}\) donne les coefficients de réflexion et de transmission de l'interface \(z^{\prime}_{2}\) :

Ainsi, \({\mathbf{A}}_{l}\) et \({\mathbf{A}}_{n}\) donnent les coefficients de réflexion (\({\mathbf{A}}_{r }\)) et les coefficients de transmission (\({\mathbf{A}}_{t}\)) du coude du tuyau à une fréquence de 30 kHz. Prendre les valeurs absolues de \({\mathbf{A}}_{r}\) et \({\mathbf{A}}_{t}\) donne

où les coefficients de réflexion correspondent aux modes réfléchissants L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 et F(1,1)2, et les coefficients de transmission correspondent aux modes de transmission L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 et F(1,1)2.

Les coefficients de réflexion et de transmission montrent que pour une incidence L(0,1) normalisée unitaire, ~ 10% du mode L(0,1) est réfléchi et plus de 100% est transmis, ce qui signifie que la loi de conservation de l'énergie est cassé ici. Cela se produit parce que le principe de cohérence de déplacement et de contrainte aux interfaces ne tient pas dans le cadre NME.

Cependant, bien que les coefficients de diffusion ne soient pas exacts, les connexions inhérentes entre les modes normaux dans les tuyaux droits et les coudes de tuyaux sont dévoilées, et les conversions de mode principal aux coudes de tuyaux sont prédites correctement. Dans ce cas, on peut conclure que la plus grande partie du mode incident L(0,1) traverse le coude du tuyau, une partie est réfléchie et une partie est convertie en mode FC(1,1)2.

L'évolution des coefficients de diffusion de l'incidence L(0,1) par rapport à la fréquence est illustrée à la Fig. 6. Comme le montre la Fig. 6, la réflexion de courbure L(0,1) et la conversion de mode à partir de L(0,1 ) à F(1,1) augmentent significativement avec la diminution de la fréquence, ce qui est en accord avec les résultats expérimentaux rapportés dans les références précédentes. Le coefficient de transmission L(0,1) est toujours supérieur à 1 et se rapproche de 1 avec l'augmentation de la fréquence.

Evolution des coefficients par rapport à la fréquence.

Pour valider les résultats de l'étude de cas dans la section "Étude de cas", des simulations numériques ont été réalisées à l'aide du logiciel commercial d'analyse par éléments finis COMSOL Multiphysics 5.6. Les dimensions et les propriétés matérielles du tube d'essai étaient celles données dans la section "Validation numérique pour la relation de bi-orthogonalité". Le tuyau était plié en son milieu d'un angle de 90°. La figure 7 montre la modélisation par éléments finis du tuyau, qui a été maillé avec deux éléments dans la direction radiale et 48 éléments dans la direction circonférentielle. L'espacement axial des mailles a été fixé à 2 mm, qui a été choisi selon le critère de maille de plus de 20 nœuds pour la plus courte longueur d'onde d'intérêt. Le pas de temps a été fixé à 1 µs selon le critère \(\Delta t < 1/\left( {20f_{\max } } \right)\), où fmax est la fréquence maximale dans une bande passante à mi-puissance.

Modélisation par éléments finis d'un tube d'essai.

Une salve de tonalité sinusoïdale à cinq cycles modulée avec la fonction de fenêtre de Hann à la fréquence d'excitation de 30 kHz a été appliquée sur la section transversale d'une extrémité du tuyau dans la direction axiale. Les points de surveillance ont été définis à l'autre extrémité du tuyau, comme illustré à la Fig. 7. La Figure 8 montre les traces temporelles du déplacement axial enregistré au point de surveillance qui se positionne aligné sur l'intrados du coude (voir Fig. 7) : ( a) est la trace temporelle complète ; (b) est la trace temporelle des modes axisymétriques (le mode L(0,1) dans ce cas) obtenue en faisant la moyenne du déplacement de tous les nœuds de la surface externe sur la section transversale ; (c) est la trace temporelle du mode F(1,1) obtenue en soustrayant le déplacement du point d'observation de celui de son homologue symétrique.

Traces temporelles du déplacement axial enregistrées au point de surveillance.

La figure 8 montre que le signal enregistré est principalement décomposé en formes d'onde des modes L(0,1) et F(1,1), indiquant qu'aucune autre conversion de mode remarquable ne se produit. Des réflexions de courbure L(0,1) significatives sont observées sur la figure 8b. Le rapport d'amplitude de la première réflexion de courbure [forme d'onde 1 sur la figure 8b] à la première réflexion d'extrémité [forme d'onde 2 sur la figure 8b] est d'environ 0,2. En fait, la première réflexion de courbure est composée de deux réflexions de courbure L(0,1) avec des trajets de propagation différents mais avec le même temps de vol : l'une se propageant de l'extrémité d'excitation vers la courbure, étant réfléchie vers l'extrémité d'excitation, puis se propager à travers le coude jusqu'à l'extrémité de réception ; l'autre se propageant d'abord à travers le coude jusqu'à l'extrémité de réception, revenant à l'extrémité, puis étant réfléchi par le coude du tuyau. Par conséquent, ~ 10 % du mode incident L(0,1) est réfléchi par la courbure. Le mode F(1,1) converti semble plutôt petit par rapport aux réflexions de courbure L(0,1), ce qui est contraire à la prédiction théorique selon laquelle une partie importante du mode L(0,1) est convertie en mode F( 1,1). En effet, le mode F(1,1) a des déplacements dominants dans les directions radiale et circonférentielle mais a un déplacement axial beaucoup plus petit (voir Fig. 5).

En résumé, les résultats de la simulation numérique concordent bien avec les prédictions théoriques. Bien que les coefficients de diffusion dérivés théoriquement ne soient pas exacts, les conversions de mode dominant sont obtenues correctement.

Dans cette section, la diffusion du mode L(0,1) traversant un virage est étudiée expérimentalement. Le banc d'essai est illustré à la Fig. 9. Le tube d'essai était le même que celui utilisé dans la section "Validation numérique de la relation de bi-orthogonalité" ; ce tube en acier inoxydable a été plié en son milieu d'un angle de 90° par cintrage à chaud. Une rafale de tonalité de 30 kHz à cinq cycles a été générée par un générateur de fonctions arbitraires (Rigol DG1022) et ensuite amplifiée par un amplificateur de puissance haute tension (Aigtek ATA-3080). Le signal amplifié était ensuite envoyé au transducteur émetteur pour exciter les ondes guidées longitudinales dans le tuyau. Les faibles signaux d'ondes guidées ont été détectés par le transducteur de réception et ont été préamplifiés et filtrés passe-haut avant d'être acquis par le système d'acquisition de données (NI PXIe-1082).

Plate-forme expérimentale.

Les transducteurs d'émission et de réception ont été placés sur la même extrémité du tuyau. Des transducteurs patch magnétostrictifs ont été utilisés. Quatre bandes d'alliage fer-cobalt prémagnétisées de 70 mm de longueur, 5 mm de largeur et 0,15 mm d'épaisseur ont été espacées de manière égale autour de la circonférence et collées longitudinalement sur le tuyau avec de la colle époxy. Une bobine de solénoïde à 40 doigts a été enroulée sur les patchs pour transmettre et recevoir les signaux.

La figure 10 montre les résultats expérimentaux. Les réflexions de coude L(0,1) sont évidentes au milieu entre deux réflexions d'extrémité successives, ceci étant parce que le coude était situé au milieu du tuyau. F(1,1) converti en mode est également observé, ce qui peut être confirmé simplement par son temps de vol. La différence de temps entre la réflexion finale L(0,1) (forme d'onde 1 sur la Fig. 10) et sa forme d'onde F(1,1) successive (forme d'onde 2 sur la Fig. 10) est d'environ 0,33 ms. Pour un aller-retour, l'incident L(0,1) traverse le virage deux fois (aller et retour), et donc la conversion de mode de L(0,1) à F(1,1) se produit deux fois. La forme d'onde 2 est le mode diffusé F(1,1) lorsque le mode L(0,1) se propage en retour. D'après les courbes de dispersion (voir Fig. 2), la différence de temps théorique entre les formes d'onde 1 et 2 est de 0,3 ms, ce qui concorde bien avec le résultat expérimental.

Inspection par ondes guidées de tuyaux avec coude.

Le rapport d'amplitude de la première réflexion de courbure L(0,1) sur la figure 10 à la première réflexion d'extrémité L(0,1) est d'environ 0,2. Dans cette configuration expérimentale d'impulsion-écho, la première réflexion de courbure sur la figure 10 est en fait la deuxième réflexion de courbure, car la première réflexion de courbure est masquée par l'impulsion initiale et ne peut pas être distinguée. Ainsi, cette première réflexion de courbure L(0,1) est également composée de deux réflexions de courbure L(0,1). Par conséquent, ~ 10 % du mode incident L(0,1) est réfléchi par la courbure.

En résumé, le résultat expérimental selon lequel les modes réfléchissants remarquables L(0,1) et F(1,1) convertis en mode sont diffusés au coude et ~ 10 % du mode incident L(0,1) est réfléchi par le coude s'accorde bien avec les simulations numériques, validant ainsi les prédictions théoriques.

Ici, la diffusion des ondes guidées se propageant à travers les coudes de tuyaux a été étudiée. Tout d'abord, la relation de bi-orthogonalité des modes normaux dans les coudes a été dérivée. Ensuite, sur la base de cette relation et en considérant que les champs de déplacement et de contrainte aux interfaces entre les parties droites et courbes d'un tuyau doivent être cohérents, le problème de diffusion a été considéré comme un problème propre d'une matrice de transfert. En résolvant ce problème propre, les conversions de mode aux interfaces ont été déduites. La combinaison des conversions de mode à deux interfaces d'un coude a donné les coefficients de réflexion et de transmission des ondes guidées traversant le coude. Une étude de cas d'une onde guidée longitudinale à basse fréquence (le mode L(0,1)) se propageant à travers un coude de tuyau a été présentée. Des simulations numériques et des expériences ont ensuite été menées pour valider les prédictions théoriques.

Étant donné que les modes normaux sont essentiellement les solutions de l'équation directrice des mouvements d'ondes dans les guides d'ondes, les modes normaux ne peuvent pas satisfaire simultanément deux équations gouvernantes différentes pour différents guides d'ondes, ce qui indique que le principe des champs de déplacement et de contrainte cohérents ne tient pas dans le cadre NME. Pour le cas de l'incidence du mode L (0,1), la prédiction théorique selon laquelle ~ 10% du mode incident est réfléchi, plus de 100% est transmis et une partie remarquable est convertie en mode F (1,1) est évidemment contraire à la loi de conservation de l'énergie. Cependant, la dérivation basée sur NME révèle toujours les connexions inhérentes entre les modes normaux dans les tuyaux droits et les coudes de tuyau, et elle donne des informations précieuses sur les conversions de mode au niveau des coudes de tuyau. Il est prouvé par des simulations numériques et des expériences que la réflexion L(0,1) et la conversion L(0,1)–F(1,1) sont les conversions de mode dominantes dans ce cas.

Les ensembles de données utilisés et/ou analysés au cours de l'étude en cours sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

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Ce travail est soutenu par la National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 51709216).

École d'architecture navale, génie océanique et énergétique, Université de technologie de Wuhan, Wuhan, 430063, Chine

Wenjun Wu, Hao Dong et Shangyu Zhang

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WW a dérivé les relations de bi-orthogonalité des modes dans les coudes de tuyaux, a étudié la conversion de mode aux coudes et a été un contributeur majeur à la rédaction du manuscrit. HD a réalisé les expériences. SZ a réalisé les simulations numériques. Tous les auteurs ont lu et approuvé le manuscrit final.

Correspondance à Wenjun Wu, Hao Dong ou Shangyu Zhang.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Wu, W., Dong, H. & Zhang, S. Diffusion d'ondes guidées se propageant à travers les coudes de tuyaux en fonction de l'expansion en mode normal. Sci Rep 12, 12488 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-16708-z

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Reçu : 15 mars 2022

Accepté : 14 juillet 2022

Publié: 21 juillet 2022

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-022-16708-z

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